دانلود پایان نامه

Ly F_Lz
-M_Lx-M_Rx-M_sx
چنانچه زاويه تماس كوچك و با صرف نظر كردن از نيروهاي اينرسي در راستاي عمودي و رول در مقايسه كردن با بار محوري و خزش طولي معادلات 3-31 و 3-32 به صورت زير درمي آيند:
(47-3)
N_L Cos〖(δ〗_L+ϕ)≈1/2 W_A-1/2 F_sz-(2a)^(-1) (r_R F_Ry+r_L F_L)
(48-3)
N_R Cos〖(δ〗_R-ϕ)≈1/2 W_A-1/2 F_sz+(2a)^(-1) (r_R F_Ry+r_L F_L)

14 – 3 – نيروها و ممان هاي خزشي:

شکل 13-3- رابطه بین خزش ونیروی خزشی
نيروهاي خزشي در حالت عمومي در ارتباط با ناحيه تماس تعريف مي شوند. به هر حال پس از نوشتن معادلات و انتقال آنها به دستگاه مختصات تعادلي نيروها و ممانهاي خزشي به صورت زير محاسبه مي شوند:
براي چرخ سمت چپ :
(49-3)
F_Lx=F_Lx^’ Cosψ-F_Ly^’ Cos〖(δ〗_L+ϕ) Sinψ
(50-3)
F_Ly=F_Lx^’ Sinψ-F_Ly^’ Cos〖(δ〗_L+ϕ) Cosψ
(51-3)
F_Lz=F_Ly^’ Cos〖(δ〗_L+ϕ)
(52-3)
M_Lx=M_Lz^’ Sin(δ_L+ϕ)Sinψ

(53-3)
M_Ly=〖-M〗_Lz^’ Sin(δ_L+ϕ)Cosψ
(54-3)
M_Lz=M_Lz^’ Cos(δ_L+ϕ)
(55-3)
F_Rx=F_Rx^’ Cosψ-F_Ry^’ Cos〖(δ〗_R-ϕ) Sinψ
(56-3)
F_Ry=F_Rx^’ Sinψ-F_Ry^’ Cos〖(δ〗_R-ϕ) Cosψ
(57-3)
F_Rz=〖-F〗_Ry^’ Cos〖(δ〗_R-ϕ)
(58-3)
M_Rx=-M_Rz^’ Sin(δ_R-ϕ)Sinψ
(59-3)
M_Ry=〖-M〗_Rz^’ Sin(δ_R-ϕ)Cosψ
(60-3)
M_Rz=-M_Rz^’ Cos(δ_R-ϕ)
در معادلات فوق F_Ri^’ وF_Li^’ جزء i ام نيروهاي خزشي در صفحه راستي و چپي تماس است. اين مسئله براي ممان هاي M_Ri^’ و M_Li^’ در سمت راست و چپ براي نقاط تماس برقرار است.
در معادلاتي كه پيش از اين استخراج شد نشان داده شده كه نيروهاي خزشي تنها تابعي از خزش هستند.
هر چرخ بر روي ريل داراي خزش طولي، عرضي و پيچشي است كه در اثر حركت بين خطي و زاويه اي بين چرخ و ريل بوجود مي آيد. همانگونه كه در فصل قبل مشاهده شده مقادير اين خزش ها از روابط 2- 8، 2- 9 و 2-10 بدست مي آيند. R ⃗_L^’ و R ⃗_R^’ به ترتيب بردار مكان نقاط تماسي سمت راست و چپ در دستگاه مختصات تعادلي در نظر مي گيريم.

چرخ سمت چپ:
(61-3)
R ⃗_L=xi ̂^”’+yj ̂^”’+zk ̂^”’+(a-Δ_L ) j ̂^’-r_L k ̂^’
(62-3)
R ⃗_L=[x-(a-Δ_L )CosϕSinψ-r_L SinϕSinψ] i ̂^”’
+[y+(a-Δ_L )CosϕSinψ-r_L SinϕCosψ] j ̂^”’
+[z+(a-Δ_L )Sinϕ-r_L Cosϕ] k ̂^”’
همچنين:
(63-3)
ξ_xL^’=([R ⃗  ̇_L^’.e ̂_1L-V(r_L/r_0 )Cosψ])/V
(64-3)
ξ_yL^’=R ⃗  ̇_L^’.e ̂_2L/V
(65-3)
ξ_spL^’=ω ⃗.e ̂_3L/V
در معادلات فوق نقطه نشان دهنده ضرب داخلي بين دو بردار است و:
(66-3)
e ̂_(1L )=Cosψ.i ̂^”’+Sinψj ̂^”’

(67-3)
e ̂_(2L )=-Cos(δ_L+ϕ)Cos(δ_L+ϕ)SinψSinψ.i ̂^”’
+Sin(δ_L+ϕ) k ̂^”’
(68-3)
e ̂_(3L )=-Sinδ_L.i ̂^’+Cosδ_L k ̂^’
(69-3)
ω ⃗=ϕ ⃗  ̇.i ̂^’+(Ω+β ̇+ψ ⃗  ̇Sinϕ).j ̂^’+ψ ⃗  ̇ Cosϕ.k ̂^’

چرخ سمت راست:
(70-3)
R ⃗_R=xi ̂^”’+yj ̂^”’+zk ̂^”’-(a+∆_R ) j ̂^’-r_R k ̂^’
(71-3)
R ⃗_R=[x+(a+∆_R )CosϕSinψ-r_R SinϕSinψ] i ̂^”’
+[y-(a+∆_R )CosϕCosψ+r_R SinϕCosψ] j ̂^”’
+[z-(a+∆_R )Sinϕ-r_R Cosϕ] k ̂^”’

همچنين:
(72-3)
ξ_xR^’=([R ⃗  ̇_R^’ e ̂_1R-V(r_R/r_0 )Cosψ])/V
(73-3)
ξ_yR^’=R ⃗  ̇_R^’.e ̂_2R/V
(74-3)
ξ_spR^’=ω ⃗.e ̂_3R/V
در معادلات فوق نقطه نشان دهنده ضرب داخلي بين دو بردار است و:
(75-3)
e ̂_1R=Cosψ.i ̂^”’+Sinψ.j ̂^”’

(76-3)
e ̂_2R=-Cos(δ_R-ϕ)Sinψ.i ̂^”’+Cos(δ_R-ϕ)Cosψ.j ̂^”’
-Sin(δ_R-ϕ) k ̂^”’
(77-3)
e ̂_3R=Sinδ_R.i ̂^’+Cosδ_R.k ̂^’
(78-3)
ω ⃗=ϕ ⃗  ̇.i ̂^’+(Ω+β ̇+ψ ⃗  ̇Sinϕ).j ̂^’+ψ ⃗  ̇ Cosϕ.k ̂^’
با انجام يكسري عمليات جبري و همچنين صرف نظر نمودن از ترمهايي از درجه دوم خزش به صورت زير محاسبه مي شود:
چرخ سمت چپ:
(79-3)
ξ_xL^’=(1/V){V[1-(r_L/r_0 )]-[(a-Δ_L )CosϕCosψ]ψ ̇}Cosψ
(80-3)
ξ_yL^’=(1/V)[y ̇Cosψ+r_L CosϕCos^2 ψϕ ̇-VSinψ]Cos(δ_L+ϕ)
+(1/V)[z ̇+(a-Δ_L )Cosϕϕ ̇]Sin(δ_L+ϕ)
(81-3)
ξ_xL^’=(1/V){V[1-(r_L/r_0 )]-[(a-Δ_L )CosϕCosψ]ψ ̇}Cosψ
چرخ سمت راست:
(82-3)
ξ_xL^’=(1/V){V[1-(r_R/r_0 )]-[(a+Δ_L )CosϕCosψ]ψ ̇}Cosψ
(83-3)
ξ_yR^’=(1/V)[y ̇Cosψ+r_R CosϕCos^2 ψϕ ̇-VSinψ]Cos(δ_R-ϕ)
-(1/V)[z ̇-(a+Δ_R )Cosϕϕ ̇]Sin(δ_R-ϕ)

(84-3)
ξ_spR^’=(1/V)[ψ ̇Cos(δ_R-ϕ)+ΩSinδ_R]
در جاييΩ=V/r_0 كه سرعت اسمي زاويه اي است.
چنانچه تغييرات در راستاي رول و ياو را كوچه در نظر بگيريم معادلات 3-67 تا 3-72 به شكل زير كاهش مي يابند.

چرخ سمت چپ:
(85-3)
ξ_xL^’=(1/V){V[1-(r_L/r_0 )]-aψ ̇}
(86-3)
ξ_yL^’=(1/V)[y ̇+r_L ϕ ̇-Vψ]Cos(δ_L+ϕ)
(87-3)
ξ_spL^’=(1/V)[ψ ̇Cos(δ_L+ϕ)-ΩSinδ_L]
چرخ سمت راست:
(88-3)
ξ_xR^’=(1/V){V[1-(r_R/r_0 )]+aψ ̇}
(89-3)
ξ_yR^’=(1/V)[y ̇+r_R ϕ ̇-Vψ]Cos(δ_R-ϕ)
(90-3)
ξ_spR^’=(1/V)[ψ ̇Cos(δ_R-ϕ)+ΩSinδ_R]
علاوه بر اين با فرض زاويه هاي تماس كوچك، خزش بصورت زير بدست مي آيند.
چرخ سمت چپ:
(91-3)
ξ_xL^’=(1/V){V[1-(r_L/r_0 )]-aψ ̇}
(92-3)
ξ_yL^’=(1/V)[y ̇+r_L ϕ ̇-Vψ]
(93-3)
ξ_spL^’=(1/V)[ψ ̇-Ωδ_L]
چرخ سمت راست:
(94-3)
ξ_xR^’=(1/V){V[1-(r_R/r_0 )]+aψ ̇}
(95-3)
ξ_yR^’=(1/V)[y ̇+r_R ϕ ̇-Vψ]

(96-3)
ξ_spR^’=(1/V)[ψ ̇+Ωδ_R]
تئوريهاي بسيار زيادي در ارتباط با نحوه محاسبه نيروهاي تماسي به عنوان تابعي از خزش استفاده شده است. در اينجا با توجه به اينكه هدف بررسي پديده هانتینگ در آلات ناقله ريلي است و با توجه به پيش بيني هاي خوبي كه تئوري كالكر در اين زمينه انجام داده است سعي مي شود تا از تئوري كالكر در اين زمينه استفاده شود. با استفاده از اين تئوري نيروهاي خزشي بصورت زير بدست مي آيند:
نيروي خزشي طولي:
(97-3)
F_x^’=-f_33 ξ_x^’
نيروي خزشي عرضي:
(98-3)
F_y^’=-f_11 ξ_y^’-f_12 ξ_sp^’
نيروي خزشي پيچشي:
(99-3)
M_z^’=f_12 ξ_y^’-f_22 ξ_sp^’
در معادلات فوق f_11، f_12، f_22 وf_33 ضرايب كالكر هستند كه نحوه محاسبه آن در فصل دوم توضيح داده شد.
با قراردادن معادلات 3-79 تا 3-84 در معادلات 3-85 تا 3-87 مي توان به آساني مقادير نيروهاي خزشي در راستاي طولي و عرضي و ممان پيچشي خزشي را بدست آورد:
چرخ سمت چپ:
(100-3)
F_xL^’=-(f_33/V){V[1-(r_L/r_0 )]-aψ ̇}
(101-3)
F_yL^’=-(f_11/V)[y ̇+r_L ϕ ̇-Vψ]-(f_12/V)[ψ ̇-Ωδ_L]

(102-3)
M_zL^’=-(f_12/V)[
y ̇+r_L ϕ ̇-Vψ]-(f_22/V)[ψ ̇-Ωδ_L]
چرخ سمت راست:
(103-3)
F_xR^’=-(f_33/V){V[1-(r_R/r_0 )]+aψ ̇}
(104-3)
F_yL^’=-(f_11/V)[y ̇+r_R ϕ ̇-Vψ]-(f_12/V)[ψ ̇+Ωδ_L]
(105-3)
F_yL^’=-(f_11/V)[y ̇+r_R ϕ ̇-Vψ]-(f_12/V)[ψ ̇+Ωδ_L]

شکل 14-3- نیروهای خزشی وخزش بین چرخ وریل
حال اين معادلات را در معادلات 3-37 تا 3-48 به منظور محاسبه نيروهاي تماسي در دستگاه مختصات تعادلي قرار مي دهيم:

چرخ سمت چپ:
(106-3)
F_Lx=-(f_33/V){V[1-(r_L/r_0 )]-aψ ̇ }Cosψ
+(f_11/V)[y ̇+r_L ϕ ̇-Vψ]Cos(δ_L+ϕ)Sinψ
+(f_12/V)[ψ ̇-Ωδ_L]Cos(δ_L+ϕ)Sinψ

(107-3)
F_Ly=-(f_33/V){V[1-(r_L/r_0 )]-aψ ̇ }Sinψ
-(f_11/V)[y ̇+r_L ϕ ̇-Vψ]Cos(δ_L+ϕ)Cosψ
-(f_12/V)[ψ ̇-Ωδ_L]Cos(δ_L+ϕ)Cosψ

(108-3)
M_Lz=(f_12/V)[y ̇+r_L ϕ ̇-Vψ]Cos(δ_L+ϕ)
-(f_22/V)[ψ ̇+Ωδ_L]Cos(δ_L+ϕ)
چرخ سمت راست:
(109-3)
F_Rx=-(f_33/V){V[1-(r_R/r_0 )]+aψ ̇ }Cosψ
+(f_11/V)[y ̇+r_R ϕ ̇-Vψ]Cos(δ_R-ϕ)Sinψ
+(f_12/V)[ψ ̇+Ωδ_R]Cos(δ_R-ϕ)Sinψ

(110-3)
F_Ry=-(f_33/V){V[1-(r_R/r_0 )]+aψ ̇ }Sinψ
-(f_11/V)[y ̇+r_R ϕ ̇-Vψ]Cos(δ_R-ϕ)Cosψ
-(f_12/V)[ψ ̇+Ωδ_R]Cos(δ_R-ϕ)Cosψ
(111-3)
M_Rz=(f_12/V)[y ̇+r_R ϕ ̇-Vψ]Cos(δ_R-ϕ)
-(f_22/V)[ψ ̇-Ωδ_R]Cos(δ_R-ϕ)
15- 3 – سختي گرانشي در راستاي عرضي و یاو:
با قراردادن مقادير N_Ly و N_Ly از معادلات 41-3 و 42-3 در معادلات 19-3 و40-3 معادلات حركت چرخ در راستاي عرضي و در راستاي ياو به صورت زير در مي آيند.
16-3- معادله بسط یافته در راستاي عرضي:
(112-3)
my ⃗  ̈=F ⃗_Ly+F ⃗_Ry+F ⃗_sy+N ⃗_R Sin(δ_R-ϕ)-N ⃗_L Sin(δ_R+ϕ
17- 3 – معادله بسط یافته در راستاي ياو:
(113-3)
I_ωx ψ ̈=-I_ωy (V/r_0 ) ϕ ̇+〖(R〗_Rx F_Ry-R_Ry F_Rx)
〖+(R〗_Lx F_Ly-R_Ly F_Lx)+R_Rx N_R Sin(δ_R-ϕ)
〖-R_Lx N_L Sin(δ_L+ϕ)+M〗_Lz+M_Rz+M_sz
مقادير N_R و N_L با معادلات 3-31 و 3-32 و همچنين در حالت ساده شده با معادلات 3-35 و 3-36 بدست مي آيند.
ما سختي گرانشي عرضي را به صورت زير تعريف مي نماييم:
(114-3)
F_g=-N_R Sin(δ_R-ϕ)+N_L Sin(δ_L+ϕ)
علت آنكه اين تعريف را انجام داديم آنست كه با رفتن اين ترم در معادله عرضي چرخ و ريل در سمت چپ به يك عامل ذخيره كننده نيرو به واسطه گرانش تبديل مي‌شود. مقدار سختي گرانشي مي تواند از معادلات 3-31 و 3-32 بدست آيد، اما در اينجا با ساده سازي و حذف ترمهايي كه اهميت چنداني ندارند و همچنين با كوچك در نظر گرفتن مقادير تغييرات زاويه‌اي ياو و رول مي توان معادلات زير را بدست آورد:

(113-3)
F_g=F_z^* [(tan(δ_L+ϕ)-tan(δ_R-ϕ))/(2-a^(-1) [r_L tan(δ_L+ϕ)-r_R tan(δ_R-ϕ)])]
+F_z^* [((r_L-r_R)tan(δ_L+ϕ)tan(δ_R-ϕ))/(2a-[r_L tan(δ_L+ϕ)-r_R tan(δ_R-ϕ)])]
+M_ϕ^* [(tan(δ_L+ϕ)+tan(δ_R-ϕ))/(2a-[r_L tan(δ_L+ϕ)-r_R tan(δ_R-ϕ)])]
همچنين مي توان نوشت:
(116-3)
F_g=F_z^* Δ_L (y)+((F_z^*)/a) Δ_c (y)+((M_ϕ^*)/a)Δ_ψ (y)
در جايي كه:
(117-3)
F_z^*=mz ̈+W_A-F_sz-[F_Ly^’ Sin(δ_L+ϕ)-F_Ry^’ Sin(δ_L-ϕ)]
(118-3)
M_ϕ^*=I_ωx ϕ ̈-I_ωy Ωψ ̇-ψ[r_R F_Rx^’+r_L F_Lx^’ ]
-[r_R F_Rx^’ Cos(δ_R-ϕ)+r_L F_Lx^’ Cos(δ_L+ϕ)]
+ψ[M_Lz^’ Sin(δ_L+ϕ)-M_Rz^’ Sin(δ_R-ϕ)]

(119-3)
Δ_L (y)=[(tan(δ_L+ϕ)-tan(δ_R-ϕ))/(2-a^(-1) [r_L tan(δ_L+ϕ)-r_R tan(δ_R-ϕ)])]

(120-3)
Δ_c (y)=[((r_L-r_R)tan(δ_L+ϕ)tan(δ_R-ϕ))/(2a-[r_L tan(δ_L+ϕ)-r_R tan(δ_R-ϕ)])]

(121-3)
Δ_ψ (y)=[(tan(δ_L+ϕ)+tan(δ_R-ϕ))/(2a-[r_L tan(δ_L+ϕ)-r_R tan(δ_R-ϕ)])]

در حالت تعادل F_sz=0 و M_sz=0 علاوه بر اين با در نظر گرفتن تعادل حول محور ياو مي توان نوشت:M_ϕ^*=0
حال با صرف نظر كردن از نيروي اينرسي در راستاي قائم و همچنين نيروهاي خزشي در راستاي قائم مي توان نوشت:
(122-3)
F_g=W_A [(tan(δ_L+ϕ)-tan(δ_R-ϕ))/(2-a^(-1) [r_L tan(δ_L+ϕ)-r_R tan(δ_R-ϕ)])]=W_A Δ_L (y)
W_A وزن چرخ و محور در حالت تعادل است. چنانچه فرض نماييم كه زاويه هاي موجود در عبارت بالا كوچك هستند، صورت كسر با مقادير زوايا به جاي تانژانت آنها و مخرج كسر با عدد 2 جايگزين مي شود. بنابراين عبارت ساده سازي شده بالا به صورت زير در مي آيند:
(123-3)
F_g=W_A [1/2 (δ_L-δ_R )+ϕ]
به طور مشابه مي توان سختي گرانشي را در راستاي ياو به صورت زير (در معادله 3-101) تعريف نمود:
(124-3)
M_g=-〖R_Rx N〗_R Sin(δ_R-ϕ)+R_Lx N_L Sin(δ_L+ϕ)

(125-3)
M_g=-aψ[F_z^* Δ_ψ (y)+((M_ϕ^*)/a) Δ_L (y)]
+aψF_z^* [((r_L+r_R)tan(δ_L+ϕ)tan(δ_R-ϕ))/(2a-[r_L tan(δ_L+ϕ)-r_R tan(δ_R-ϕ)])]
در معادلات فوق y جابجايي عرضي چرخ و محور نسبت به ريل است. اين عبارت نيز با صرف نظر كردن از ترمهاي خزش و فرض تعادل در راستاي ياو به صورت زير ساده سازي مي شود:
(126-3)
M_g=〖-aψW〗_A [(tan(δ_L+ϕ)+tan(δ_R-ϕ))/(2-a^(-1) [r_L tan(δ_L+ϕ)-r_R tan(δ_R-ϕ)])]
حال چنانچه مانند آنچه براي سختي نيروي گرانشي در نظر گرفتيم اينجا نيز زوايا را كوچك در نظر بگيريم مي توان نوشت:
(127-3)
M_g=-aψW_A [1/2 (δ_L+δ_R )]
18-3- معادلات ساده سازي شده چرخ و محور:
با درنظر گرفتن معادلات 3-94 و 3-99 براي بدست آوردن نيروها و ممان خزشي، معادلات 3-111 و 3-115 براي سختي گرانشي و معادلات 3-15 تا 3-20 به معادلات مربوط به بردار مكان معادله سازي سازي شده چرخ و محور در راستاي عرضي و ياو مي تواند بصورت زير از معادلات 3- 100 و 3- 101 بدست آيد:
(128-3)
my ̈+(2f_11)/V [y ̇+(r_L+r_R)/2 ϕ ̇-Vψ]+2f_33 [1-(r_L+r_R)/(2r_0 )]ψ
+2f_12 [ψ ̇/V-(δ_L-δ_R)/(2r_0 )]+W_A [(δ_L-δ_R)/(2r_0 )+ϕ]=F_sy

(129-3)
I_wx ψ ̈+I_wy V/r_0 ϕ ̇+(2a^2 f_33)/r_0 ((r_L-r_R)/2a)-(2f_12)/V (y ̇+(r_L+r_R)/2 ϕ ̇-Vψ)
+2a^2 f_33 ψ ̇/V-2f_22 (δ_L-δ_R)/(2r_0 )-aW_A (δ_L+δ_R)/2 ψ+2f_22 ψ ̇/V=M_sz

معادلات حاصله غيرخطي هستند. در واقع شعاعهاي غلتش در سمت راست r_R، در سمت چپ r_L، زواياي تماس در سمت راست و چپ δ_R و δ_L و زاويه رول تابعي غيرخطي از جابجايي عرضي y است. اين پارامترها در واقع به پروفيل چرخ و ريل و نقاط تماس بستگي دارند. همچنين نيروي F_sy و ممان M_sz ناشي از سيستم تعليق مي توانند غيرخطي از متغيرهاي مختلف باشند.
توابعي كه مي توانند اين غيرخطي بودن را با در نظر گرفتن چرخ مخروطي26 و ريل با لبه تيز27 بصورت زير است. چنانچه را زاويه مخروطي28 در نظر بگيريم، آنگاه خواهيم داشت:
(r_L-r_R)/2=λy , (r_L-r_R)/2=r_0 , (δ_L-δ_R)/2=0 , (δ_L+δ_R)/2=λ
ϕ=(λ/a)y
با در نظرگرفتن اين معادلات، معادلات چرخ و محور به صورت زير ساده سازي مي شوند:
(130-3)
my ̈+(2f_11)/V [y ̇+r_0 (λ/a)y ̇-Vψ]+2f_12 ψ ̇/V+W_A λ/a y=F_sy

(131-3)
I_wx ψ ̈+I_wy (V/r_0 )(λ/a) y ̇+(2af_33 λ)/r_0 y-(2f_12)/V (y ̇+r_0 (λ/a) y ̇-Vψ)
-2a^2 f_33 ψ ̇/V-aW_A λψ+2f_22 ψ ̇/V=M_sz

حال چنانچه در معادلات فوق نيز و ممان ناشي از سيستم تعليق نيز خطي باشند، معادلات چرخ و محور كاملا خطي مي شوند و اين امكان براي ما بوجود مي آيد تا به آساني به بررسي پايداري اين سيستم خطي بپردازيم.
19-3- معادلات چرخ و ريل با در نظر گرفتن تماس چرخ با فلنج ريل:
چنانچه در فصل پيش گفته شد مي توان تماس فلنج چرخ با ريل را با استفاده از يك فنر غيرخطي حل نمود. حال كه معادلات فوق نوشته شده است تنها كافي است تا اين فنر غيرخطي را با استفاده از يك قيد اصلاحي در معادله فوق به مسئله اعمال نماييم:
(132-3)
my ̈+(2f_11)/V [y ̇+r_0 (λ/a)y ̇-Vψ]+2f_12 ψ ̇/V+W_A λ/a y=F_sy-F_T
در اين معادله F_T نيروي حاصل از فلنج چرخ است كه از رابطه زير بدست مي آيد:

(132-3)
F_T={█(K(y+δ) ;yδ@0


دیدگاهتان را بنویسید